The LAG Köln disagrees with your interpretation:
> (...) Im Falle des verstetigten Bruttomonatsentgelts tritt diese Fälligkeit gemäß § 614 Satz 2 BGB nach Ablauf des Zeitabschnittes, bei einer Monatsvergütung also nach Ablauf des jeweiligen Monats, ein. (...) [1]
This means the payment is due as soon as the month is over and according to § 286 (2) 1 BGB, the employer is immediately in default
[1] https://openjur.de/u/2172897.html